决策树 （也可以称为分层决策）是在F5的大纲一个比较新的知识点。这篇文章的目的就是一步一步的分析以及运用一些简单的实例来帮助同学们学习和理解决策树这种工具。在制作决策树的图形表达时，对图形的符号并没有一个公认和统一的标准（决策树表达形式可以比较灵活）。相对比较普遍的一种做法是 “□”正方形来代表决策，◌ 圆形来代表决策可能产生的结果。因此在这篇文章以及例题的参考答案中，我们都会使用以上的符号。

决策树及多级决策

首先，我们来大概的了解一下什么是决策树。决策树本身是一种帮助制定决策工具。通过图形和模型来展示我们的决策/行动步骤，结果以及相应的可能性，并用箭头将其连接起来。因其图形很像树形，所以这种图形的表达方式也叫decision tree。在面对多种决策和多种可能结果的情况时，决策树这种工具有极高的使用价值。例如，当我们需要选择是否对公司扩张，这个决定可能要取决于很多的不确定因素（变量），例如扩张后的销售和成本都存在多种可能性。其中，一些变量的数值还要取决于其他的变量。如果公司销售了10万件产品，产品的单位成本是4块/件，但是如果销售了12万件产品，那么产品的单位成本就降到了3.8块/件，这就产生了由销售量引致的成本的不确定性，而销售量本身也是不确定的。决策树这个工具就是提供了一种解决这种问题的思路和方法，通过将复杂的情况拆分为易理解管理的小问题来处理。

                   （图1 ：决策树示例）

在使用决策树来帮助决策的时候有两个步骤。第一步，构造决策树。首先是标出我们所要解决的问题，并根据这个问题画出相应的解决方案（决策/解决步骤），然后根据不同的决策，画出某个决策可能产生的结果（financial outcomes）和可能性，（此文中主要是解决一些财经类问题，所以这里的结果泛指经济效果）。在这一过程中，需要运用到相关成本（relevant cost）和相关收入（relevant revenue）的概念，相对应每一个结果只考虑其相关成本和相关收入（思考：为什么这里只考虑相关成本和收入？）

第二步就是根据以上的数据对我们需要做的决策进行评估和建议。这一步的操作过程是倒推的过程。根据不同的决策可能产生的结果和可能性计算出不同的结果的应期望值，然后根据期望值倒推回不同的决策。最后根据以上的结论为管理层提供建议。
    
构造决策树

决策树的构造过程总是从左至右的。在决策树的解决方案/决策节点区域，首先标出我们控制范围的可供选择的解决方案（决策），这些决策我们可以任意选择。另外还有一些不在我们控制范围内的考虑因素，这些因素取决于外部环境，例如，顾客、供应商及经济环境。决策区的可控和非可控部分，以及相应的结果都可能会有向下（向右边方向）的分支，如果有两个可能的结果，那么就会产生2个分支。例如，一个好的和一个坏的结果。这个过程中，决策树可以帮我们更容易的去评估不同的行动步骤，那么决策树的起点也必定一个是决策，以□为标示。

下面的示例是一个简单的决策树，从这个示例中我们可以看出，对于决策者有2个选择，这2个选择分别由上下2个分支来代表。顶部的分支标示了其中的一个选择，并且这个分支具有确定性，因为这个分支并没有产生其他的下一级分支。但是下面的分支是有一个节点的（节点代表会有下一级分支出现），也就是说如果做了决定，选择下面的分支，会产生不同的结果。在这里会产生2个不同的结果，也就是会产生2个不同的下一级分支。打个比方，不同的投资决策，会导致不同的收入水平，不同的收入水平有不同的变动成本。

如上例，当决策树的结构制作完成后，所有结果都必须标注其概率和期望值。注意，某一结果所有的可能性的总和必须是100%，如果不是，那么就一定会有错误或某一个结果的遗漏。当我们标注了分支的概率，其相应的现金流也必须标注。后面会有一个相关的示例。这时决策树已经完成，接下来就是完成对决策的评估。

评估决策

当我们开始评估决策树时，我们的评估从右开始，以从右向左的方向来进行的。评估的方向和构造决策树的方向是相反的。具体的操作步骤如下：

1.用字母符号标记所有的决策点和结果，所有的□和◌。从最右边开始，从上往下标记，右侧标记完后开始向左边最近的点标记。

2.然后开始从右向左，用相应的概率和现金流计算出现金流的期望值，如果有空间，可以将计算出的期望值记录在下一个相关的结果节点上；尽量将所有的内容清晰的表达在决策树上。

3.最后，依据最好的期望值的结果，对管理层提供意见。

要注意，我们利用期望值作为决策的基础，但是也要考虑期望值这种技术的不足之处。期望值是在一个长期分析结果的平均值，那么就需要这个决策在一个长期的过程中不断的重复。所以如果我们制定的是一个一次性的决策，那么实际的结果和期望值可能会有较大的差异。所以这个技术和计算出的结果不是非常的精确。还有就是估计可能性的概率也未必会非常精确，如果此类事件以前未发生过。

期望值的判断标准非常适用于风险中立的投资者，这些投资者既不追求高风险也不会对风险厌恶，所以如果对投资者的风险嗜好不清楚的话，也不确定期望值是否适合他们。事实上，如果我们同时也观察最坏和最好的情况，这种思路也许会对我们更有帮助。

接下来呢，我们用一个简单的决策树的案例来演示一下，为了简化过程，我们假设这里的数据都是净现值。

例题

某公司正在考虑是否要退出一款新产品。研发成本大概是400,000元，有70%的可能性这个产品会很成功，30%的可能性会失败。如果这个产品成功，相关的盈利水平和概率如下；以下数据依据与这款产品的受众程度，高、中等和低；

如果失败了，有60%的可能性，研发成果可以以的5万元价格出售，另外有40%的可能什么也得不到。

此决策树如下：

接下来，将相关的数据填入。注意，盈利数据是2年的盈利，所以金额要乘以2.

现在就可以开始用字母符号标记这个决策树了，现在的顺序是从右向左。

现在我们可以对每一个结果节点计算期望值了。首先我们可以计算出点A和B的期望值。当AB两点的期望值得到后，我们就可以计算出点C的期望值，C点的期望值的计算，我们可以使用C点的2个分支的概率和2个分支的期望值（AB的期望值）来计算，计算结果如下；

EV A= (0.2 x $1,000,000) + (0.5 x $800,000) + (0.3 x $600,000) = $780,000.
EV B = (0.6 x $50,000) + (0.4 x $0) = $30,000.
EV C = (0.7 x $780,000) + (0.3 x $30,000) = $555,000

这些期望值可以记录在决策树上，如果有足够的空间。

当这些工作都完成后，决策者返回到开始点D。在点D 决策者可以对比上下2个分支的期望值 （上面的分支，因为没有任何的结果，所以也没有概率，也就没有期望值）。相应的成本需要被扣除，所以在D点对比期望值后得到，如果不开发这个产品结果为0，如果开发这个产品，在扣除400,000的成本后期望值是155,000. 

最后，为管理层做出的建议是开发这款产品，因为期望的利润是155,000 。

决策树还有其他的构造方法，在这个例子中，如果开发产品，是有5个结果的。

1.成功的情况下，高盈利水平是盈利1,000,000 

2.成功的情况下，中等盈利水平是盈利800,000 

3.成功的情况下，低盈利水平是盈利600,000 

4.失败的情况下，研发成功可以出售 50,000

5.失败的情况，没有任何收益

因此，如果不做C点，而是只构造2个分支，并且每个分支都会产生自己的结果。那么我们构造的决策树如下图：

这个时候我们会发现A点产生的5个结果的概率都发生了变化，这是因为这里的概率是联合概率，结果是结合成功和失败（0.7/0.3）以及高中低盈利水平（0.2/0.5/0.3）。联合概率的计算方法只是简单的将2部分相乘。

成功及高盈利水平: 0.7 x 0.2 = 0.14

成功及中等盈利水平: 0.7 x 0.5 = 0.35

成功及低盈利水平: 0.7 x 0.3 = 0.21

失败及出售: 0.3 x 0.6 = 0.18

失败及没有出售: 0.3 x 0.4 = 0.12

当然以上的联合概率的总和也必须是1。如果不是肯定有错误存在。

以上的两种方法可以任意使用，其结果都是一样的。这个例子是有一个比较简单的示例，如果有一些比较负责的决策树，有很多的结果和分支，其原则都是一致的。

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